قانون سوم نیوتین

 

قانون سوم نیوتن

 

نیروهای وارد بر یک جسم از اجسامی ناشی می‌شوند که محیط آن جسم را تشکیل می‌دهند. اگر نیروهای وارد بر جسم دیگری را که قبلاً‌ جزء محیط جسم اول بوده است بررسی کنیم، خود جسم اول هم جزئی از محیط جسم دوم و منشأ بخشی از نیروهای وارد بر جسم دوم خواهد بود. بنابراین،‌ هر تک نیرویی در واقع بخشی از برهمکنش متقابل میان دو جسم است. آزمایش نشان می‌دهد که اگر جسمی بر جسم دیگری نیرو وارد کند،‌ همیشه جسم دوم هم نیرویی بر جسم اول وارد می‌کند.

به علاوه، معلوم می‌شود که همواره اندازه این دو نیرو یکسان و جهت آنها مخالف هم است. پس هیچ نیرویی به صورت تک نیروی مجزا نمی‌تواند وجود داشته باشد.

فرض کنید که چنین نمی‌بود. دو جسم را در نظر بگیرید. که از محیط منزویند و فرض کنید که نیرویی بر  وارد می‌کند امّا  نیرویی بر  وارد نمی‌کند. در این صورت نیروی کل وارد بر مجموعه غیر صفر می‌شد و جسم مرکب می‌بایست شتاب می‌گرفت. اگر چنین چیزی در کار بود،‌ چشمه بی‌پایانی از انرژی می‌داشتیم که می‌توانست را،‌ بی‌هیچ هزینه‌ای در فضا حرکت بدهد: قایقهای بادبانی می‌توانستند با دمیدن نفس مسافران به بادبانهایشان حرکت کنند و سفینه‌های فضایی می‌توانستند با فشاری که فضانوردان بر دیواره‌هایشان وارد می‌کردند شتاب بگیرند. ناممکن بودن این چیزها نتیجه‌ای از قانون سوم نیوتن است.

به دلخواه، یکی از نیروهای برهمکنش بین دو جسم را نیروی " عمل" و دیگری را نیروی " عکس‌العمل" می‌نامیم. قانون سوم نیوتن، در شکلی که از قدیم رایج بوده است،‌ چنین بیان می‌شود:

هر عملی، عکس‌العملی به همان اندازه و در خلاف جهت عمل دارد.

در روایت جدیدتری از قانون سوم،‌ به نیروی متقابلی که دو جسم به هم وارد می‌کنند پرداخته می‌شود:

وقتی دو جسم به یکدیگر نیرو وارد کنند، این دو نیرو هم اندازه و در جهتهای مخالف هم هستند.

برای صورتبندی ریاضی این تعریف، فرض کنید در شکل() جسم  نیروی را به جسم وارد می‌کند؛ آزمایش نشان می‌دهد که جسم هم نیروی را به جسم  وارد می‌کند. (به ترتیب زیروندها توجه کنید؛ نیرو بر جسمی وارد می‌شود که با زیروند اول مشخص شده است و این نیرو را جسمی وارد می‌کند که با زیروند دوم مشخص شده است.) این را می‌شود به شکل یک معادله برداری نوشت:

(1) ----------------

توجه کنید که عمل و عکس‌العمل همواره بر دو جسم مختلف اثر می‌کنند؛ تفاوت زیروندهای اول در دو طرف معادله هم یادآور همین است. اگر این دو نیرو بر یک جسم اثر می‌کردند، نیروی خالص وارد بر آن جسم صفر می‌شود و حرکت شتابداری وجود نمی‌داشت.

هنگامی که چوب بیسبال به توپ می‌خورد، چوب نیرویی بر توپ وارد می‌کند. (عمل) و توپ هم نیرویی هم اندازه و در خلاف جهت بر چوب وارد می‌کند. هنگامی که فوتبالیستی توپ را شوت می‌کند، پا نیرویی بر توپ وارد می‌کند (عمل) و توپ هم نیرویی هم اندازه و در خلاف جهت بر پا وارد می‌کند. هنگامی که دارید سعی می‌کنید اتومبیل وامانده‌ای را هُل بدهید، می‌توانید حس کنید که اتومبیل هم شما را به عقب هُل می‌دهد. در هر مورد،‌ اگر هدف ما بررسی دینامیک یکی از دو جسم باشد- مثلاً فقط توپ بیسبال- تنها یکی از زوج نیروهای عمل- عکس‌العمل را در نظر می‌گیریم؛‌ نیروی دیگر به جسم دیگری وارد می‌شود‌ و فقط وقتی به آن نیاز داریم که بخواهیم دینامیک آن جسم دیگر را بررسی کنیم.

در مثالهای زیر می‌بینیم که قانون سوم چگونه عمل می‌کند:

1. ماهواره‌ای که در مدار زمین است. شکل () ماهواره‌ای را نشان می‌دهد که به دور زمین می‌گردد. تنها نیروی وارد بر آناست، نیرویی که از (جاذبه گرانشی‌) زمین بر ماهواره وارد می‌شود. عکس‌العمل متناظر با این نیرو کجاست؟ این نیرواست،‌ نیروی ناشی از جاذبه گرانشی ماهواره که بر زمین وارد می‌شود.

 

 

شاید فکر کنید که ماهواره به این کوچکی نمی‌تواند جاذبه گرانشی قابل ملاحظه‌ای بر زمین وارد کند، امّا این کار را می‌کند، درست همانطور که لازمه قانون سوم نیوتن است. اگر فقط اندازه دو نیرو را در نظر بگیریم، می‌دانیم که.(به خاطر دارید که اندازه هر برداری مثبت است) نیروی باعث می‌شود که زمین شتاب بگیرد،‌ امّا چون جرم زمین خیلی زیاد است، این شتاب آنقدر کوچک است که آشکار نمی‌شود.

2. کتابی که روی میز، ساکن است. شکل () الف کتابی را نشان می‌دهد که روی میزی، به حالت سکون،‌ قرار دارد. زمین کتاب را با نیروی به طرف پایین می‌کشد، امّا کتاب شتاب نمی‌گیرد چون این نیرو با نیروی تماسی خنثی می‌شود. این نیرو با نیروی اول هم اندازه و در جهت مخالف آن است و میز آن را بر کتاب وارد می‌کند.

 هم اندازه و در جهت مخالف هم هستند، امّا زوج عمل- عکس‌العمل نیستند. چرا؟ چون هر دو بر یک جسم- به کتاب- وارد می‌شوند. این دو نیرو همدیگر را خنثی می‌کنند و به همین علت است که شتاب کتاب صفر است.

هر یک از این دو نیرو البته باید در جایی یک نیروی عکس‌العمل متناظر هم داشته باشد. این عکس‌العملها کجا هستند؟ عکس‌العملنیروی است، نیروی (گرانشی) وارد بر زمین از طرف کتاب. شکل () ب این زوج عمل- عکس‌العمل را نشان می‌دهد.

شکل () ج عکس‌العمل را نشان می‌دهد، که نیروی است،‌ یعنی نیروی تماسی‌ که کتاب بر میز وارد می‌کند. زوجهای عمل- عکس‌العمل این مسئله،‌ که کتاب هم در آنها دخیل است و اجسامی که این نیروها بر آنها اثر می‌کنند،‌ عبارتند از:

زوج اول:----------------  (کتاب و زمین)

و

زوج دوم:---------------- (کتاب و میز‌)

3. هُل دادن یک ردیف صندلی. شکل () کارگری را نشان می‌دهد که دو صندوق را هُل می‌دهد. هر یک از این دو صندوق روی صفحه چرخداری است که می‌تواند با اصطکاک ناچیزی روی زمین حرکت کند. کارگر نیروی را بر صندوق 1 وارد می‌کند و صندوق 1 هم با نیروی عکس‌العمل  کارگر را به عقب می‌راند. صندوق 1 صندوق 2 را با نیروی هُل می‌دهد. (توجه کنید که کارگر مستقیماً بر صندوق 2 نیرویی وارد نمی‌کند.) کارگر برای اینکه به جلو حرکت کند باید یک نیروی بر زمین وارد کند.  کارگر را به جلو می‌راند. شکل،‌ سه زوج عمل- عکس‌العمل را نشان می‌دهد:

 ---------------- (صندوق 1 و صندوق 2)

 ---------------- (کارگر و صندوق 1)

 ---------------- (کارگر و زمین)

شتاب جسم 2، طبق قانون دوم نیوتن، از نیروی خالص وارد بر آن بدست می‌آید:

شتاب صندوق 1 هم از نیروی خالص وارد بر این صندوق تعیین می‌شود:

در رابطه بالا جمع برداری دو نیرو را به صورت تفاضل اندازه دو نیرو نوشته‌ایم، چون این دو در جهت مخالف هم بر صندوق 1 اثر می‌کنند. اگر دو صندوق در تماس با هم بمانند، شتابشان باید یکی باشد. این شتاب را با نشان می‌دهیم و دو معادله را با هم جمع می‌کنیم. نتیجه می‌شود که

 

 

 

اگر مجموعه صندوقهای 1 و 2 را به صورت یک جسم واحد به جرم در نظر می‌گرفتیم هم همین معادله بدست می‌آمد. نیروی خارجی خالص وارد بر این جسم مجموع، است. در این صورت، دو نیروی تماسی در مرز میان صندوق 1 و صندوق 2 نیروهای داخلی هستند و در معادله توصیف کننده جسم یکپارچه وارد نمی‌شوند. نیروهای اتمی‌ که ذرات جسم را کنار هم نگه می‌دارند هم همین طور؛ هر نیروی داخلی در واقع یکی از اعضای زوج عمل- عکس‌العملی است که بر اجزای مختلف (مثلاً،‌ دو اتم) اثر می‌کنند. این نیروها،‌ وقتی که معادلات مربوط به اجزای مختلف را با هم جمع می‌کنیم، در مجموع صفر می‌شوند.

توجه کنید که در این مثال، کارگر عامل فعالی است که صندوقها را حرکت می‌دهد، امّا آنچه این کار را ممکن می‌کند نیروی عکس‌العمل زمین است. اگر بین زمین و کفشهای کارگر اصطکاکی وجود نمی‌داشت،‌ کارگر نمی‌توانست سیستم را به جلو براند.

4. جسمی که از فنر آویزان است. شکل الف جسمی را نشان می‌دهد که، به حالت ساکن، از فنری آویزان است. سر دیگر فنر به سقف متصل است. نیروهای وارد بر جسم،‌ یکی وزن آن (به طرف پایین) و دیگری نیروی (‌به طرف بالا) است که از فنر وارد می‌شود. جسم تحت تأثیر این نیروها در حالت سکون است،‌ امّا این دو نیرو زوج عمل- عکس‌العمل نیستند، چون که در این مورد هم بر یک جسم وارد می‌شوند. عکس‌العمل به نیروی نیروی گرانشی‌ است که جسم بر زمین وارد می‌کند و در شکل نیامده است.

عکس‌العمل به (نیرویی که از فنر بر جسم وارد می‌شود) نیرویی است که از جسم بر فنر وارد می‌شود. برای نشان دادن این نیرو، نیروهای وارد بر فنر را در شکل ج نمایش داده‌ایم. این نیروها عبارتند از (که همان عکس العمل به است)،  (‌وزن فنر که معمولاً قابل چشمپوشی است) و  (که از سقف به فنر وارد می‌شود). وقتی فنر در حالت سکون است، نیروی خالص وارد بر آن باید صفر شود: 

عکس‌العمل به نیرویی است که (مثلاً به اسم) که بر سقف اثر می‌کند. چون در این نمودارها سقف را به عنوان جسم مستقلی بررسی نکرده‌ایم، را هم نشان نداده‌ایم.

 

---

یکاهای نیرو

 

قانون دوم نیوتن هم، مثل همه معادلات دیگر، باید از نظر ابعادی سازگار باشد. بعد طرف راست است (به خاطر دارید که نماد بعد است)، بنابراین، بعد نیرو هم باید همین باشد.

منشأ نیرو هر چه باشد- گرانشی، الکتریکی، هسته‌ای، یا هر چیز دیگر- و معادله توصیف کننده آن هر قدر پیچیده هم باشد، بعد آن همین است. در سیستم یکاهای  ، جرم را برحسب  و شتاب را برحسب می‌سنجند. برای اینکه به جرم  شتاب بدهیم، باید نیرو به آن وارد کنیم. این ترکیب نه چندان خوش دست یکاها را نیوتن (مخفف) می‌نامند:

اگر جرم را برحسب  و شتاب را برحسب بسنجیم، قانون دوم نیوتن نیرو را برحسب  بدست می‌دهد.

دو سیستم رایج دیگر،‌ سیستم (سانتیمتر-گرم- ثانیه) و سیستم بریتانیایی هستند. در سیستم ، جرم را برحسب گرم و شتاب را برحسب می‌سنجند. یکای نیرو در این سیستم دین  نامیده می‌شود که معادل است با. از آنجا که یعنی است، نتیجه می‌شود که. دین یکایی بسیار کوچک است؛ تقریباً برابر با وزن یک میلیمترمکعب آب. (یک نیوتن در حدود وزن نیم فنجان آب است.)

در سیستم بریتانیایی، نیرو را بر‌حسب پاوند و شتاب را برحسب می‌سنجند. در این سیستم،‌ جرمی که در اثر نیروی شتاب می‌گیرد، یک اسلاگ است.

سیستمهای پایه دیگری هم هستند که گاه به گاه بکار می‌روند، امّا این سه سیستم فعلاً از همه رایجترند.